说明
本文主要内容为LU、Cholesky、LDL分解，具体涉及的内容有：
- LU、LDL、Cholesky实现方式
- Cholesky证明
- 一些实际用途
1、LU 分解
定义[1]
Let A be a square matrix. An LU factorization refers to the factorization of A, with proper row and/or column orderings or permutations, into two factors – a lower triangular matrix L and an upper triangular matrix U: \[ A=LU \]
实现
进行LU分解的方法主要是高斯消元，这边有两种形式，一种是直接使用行初等变换，依次把各个行初等变换矩阵乘起来等到一个一个三角矩阵，具体看下面的例子；还有一种是使用一个高斯消元矩阵，这边不展开，只列出他的形式。
方法一[2]
方法二[3]
方法二在这边不展开，只展示变换矩阵形式 
用途
LU最重要的用途就是解方程AX=B，因为A变成了两个三角矩阵，二三角矩阵在解方程时效率较快，因此此时只需要解两个三角矩阵方程即可。另一个比较常用的用途是求行列式，因为三角矩阵的行列式是对角元素的乘积，因此此时A的det就变成了，两个三角矩阵对角元素的乘积，因为L的对角元素为1，所以实际就是U矩阵的对角元素。
2、Cholesky 分解
定义[4]
The Cholesky decomposition of a Hermitian positive-definite matrix A is a decomposition of the form \[ A=LL^* \] where L is a lower triangular matrix with real and positive diagonal entries, and L* denotes the conjugate transpose of L. Every Hermitian positive-definite matrix (and thus also every real-valued symmetric positive-definite matrix) has a unique Cholesky decomposition.
证明[5]
这个部分将会证明，一个正定矩阵存在Cholesky分解。这边会需要一个前提，A存在唯一一个LDU分解，D为对角矩阵，这实际上根据其存在唯一一个LU分解可以很容易得到。
实现
由于LU此时相互共轭转置，根据这个附加条件可以在LU分解的基础上加以改进，使得Cholesky分解效率高于LU分解，具体算法有The Cholesky algorithm、The Cholesky–Banachiewicz and Cholesky–Crout algorithms[4]，这边不加以展开。
用途
主要还是解方程，通过两个三角矩阵来解方程AX=B。
3、LDL 分解
定义[4]
A closely related variant of the classical Cholesky decomposition is the LDL decomposition, \[ A=LDL^* \] where L is a lower unit triangular (unitriangular) matrix, and D is a diagonal matrix.
证明
LDL存在可以直接通过Cholesky分解来得到，只要另Cholesky分解A=GG*中\(G=LD^{1/2}\)即可。
用途
LDL因为避免了平方根的提取，因为效率上比Cholesky分解更优。而其主要用途同Cholesky。实际上我们可以把LDL分解看作是Cholesky分解的改进版。
参考
[1] LU decomposition
[2] https://blog.csdn.net/billbliss/article/details/78559289
[3] Gene H. Golub.matrix computations
[4] Cholesky decomposition
[5] https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/50890391
评论版块需要fan墙，如果需要请fan墙后操作。
游客评论无法接受回复提醒邮件。
之前也用了别的评论系统，但还是觉得这个比较好，功能比较全。